Populația față de deviația standard a eșantionului
În statistici, mai mulți indici sunt utilizați pentru a descrie un set de date corespunzător tendinței sale centrale, dispersiei și asimetriei. Abaterea standard este una dintre cele mai frecvente măsuri de dispersie a datelor din centrul setului de date.
Datorită dificultăților practice, nu va fi posibil să se utilizeze datele din întreaga populație atunci când se testează o ipoteză. Prin urmare, folosim valori de date din eșantioane pentru a face inferențe despre populație. Într-o astfel de situație, aceștia se numesc estimatori, deoarece estimează valorile parametrilor populației.
Este extrem de important să folosiți estimatori imparțiali în inferență. Se spune că un estimator este imparțial dacă valoarea așteptată a acelui estimator este egală cu parametrul populației. De exemplu, folosim media eșantionului ca estimator imparțial pentru media populației. (Matematic, se poate arăta că valoarea așteptată a mediei eșantionului este egală cu media populației). În cazul estimării deviației standard a populației, deviația standard a eșantionului este, de asemenea, un estimator imparțial.
Ce este abaterea standard a populației?
Când datele din întreaga populație pot fi luate în considerare (de exemplu, în cazul unui recensământ), este posibil să se calculeze abaterea standard a populației. Pentru a calcula abaterea standard a populației, sunt calculate mai întâi abaterile valorilor datelor de la media populației. Pătratul mediu rădăcină (media pătratică) a abaterilor se numește deviația standard a populației.
Într-o clasă de 10 studenți, datele despre elevi pot fi colectate cu ușurință. Dacă se testează o ipoteză pe această populație de studenți, atunci nu este nevoie de utilizarea valorilor eșantionului. De exemplu, greutățile celor 10 studenți (în kilograme) sunt măsurate la 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 și 79. Apoi, greutatea medie a celor zece persoane (în kilograme) este (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, care este 71 (în kilograme). Aceasta este media populației.
Acum, pentru a calcula abaterea standard a populației, calculăm abaterile de la medie. Abaterile respective de la medie sunt (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 și (79 - 71) = 8. Suma pătratelor de deviere este (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Abaterea standard a populației este √ (366/10) = 6,05 (în kilograme). 71 este greutatea medie exactă a elevilor clasei și 6,05 este abaterea standard exactă a greutății de la 71.
Ce este deviația standard a eșantionului?
Atunci când datele dintr-un eșantion (de dimensiunea n) sunt utilizate pentru a estima parametrii populației, se calculează abaterea standard a eșantionului. Mai întâi sunt calculate abaterile valorilor datelor de la media eșantionului. Deoarece media eșantionului este utilizată în locul mediei populației (care nu este cunoscută), luarea mediei pătratice nu este adecvată. Pentru a compensa utilizarea mediei eșantionului, suma pătratelor abaterilor este împărțită la (n-1) în loc de n. Abaterea standard eșantion este rădăcina pătrată a acestei. În simbolurile matematice, S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, unde S este deviația standard a eșantionului, ẍ este media eșantionului și x i sunt punctele de date.
Acum presupuneți că, în exemplul anterior, populația este elevii întregii școli. Apoi, clasa va fi doar un eșantion. Dacă acest eșantion este utilizat în estimare, deviația standard a eșantionului va fi √ (366/9) = 6,38 (în kilograme), deoarece 366 a fost împărțit la 9 în loc de 10 (dimensiunea eșantionului). Faptul de observat este că nu se garantează că valoarea exactă a deviației standard a populației este. Este doar o estimare pentru aceasta.
Care este diferența dintre deviația standard a populației și deviația standard a eșantionului?
• Deviația standard a populației este valoarea parametrului exact utilizată pentru a măsura dispersia din centru, în timp ce deviația standard a eșantionului este un estimator imparțial pentru aceasta.
• Abaterea standard a populației este calculată atunci când sunt cunoscute toate datele referitoare la fiecare individ al populației. Altfel, se calculează abaterea standard a eșantionului.
• Abaterea standard a populației este dată de σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n} unde µ este media populației și n este dimensiunea populației, dar abaterea standard a eșantionului este dată de S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} unde ẍ este media eșantionului și n este dimensiunea eșantionului.
