Asociativ vs Comutativ
În viața noastră de zi cu zi, trebuie să folosim numerele ori de câte ori avem nevoie pentru a obține o măsură a ceva. La magazin alimentar, la benzinărie și chiar în bucătărie, trebuie să adăugăm, scădem și înmulțim două sau mai multe cantități. Din practica noastră, efectuăm aceste calcule destul de ușor. Nu observăm și nu ne întrebăm niciodată de ce facem aceste operații în acest mod special. Sau de ce aceste calcule nu pot fi făcute într-un mod diferit. Răspunsul este ascuns în modul în care aceste operații sunt definite în câmpul matematic al algebrei.
În algebră, o operație care implică două mărimi (cum ar fi adunarea) este definită ca o operație binară. Mai precis este o operație între două elemente dintr-un set și aceste elemente sunt numite „operand”. Multe operații în matematică, inclusiv operații aritmetice menționate anterior și cele întâlnite în teoria mulțimilor, algebra liniară și logica matematică pot fi definite ca operații binare.
Există un set de reguli care guvernează o anumită operație binară. Proprietățile asociative și comutative sunt două proprietăți fundamentale ale operațiilor binare.
Mai multe despre proprietatea comutativă
Să presupunem că o anumită operație binară, notată cu simbolul ⊗, este efectuată asupra elementelor A și B. Dacă ordinea operanzilor nu afectează rezultatul operației, atunci se spune că operația este comutativă. adică dacă A ⊗ B = B ⊗ A atunci operația este comutativă.
Adunarea și multiplicarea operațiilor aritmetice sunt comutative. Ordinea numerelor adunate sau multiplicate împreună nu afectează răspunsul final:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Dar, în cazul divizării, schimbarea în ordine dă reciprocitatea celeilalte, iar în scădere schimbarea dă negativul celeilalte. Prin urmare, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 și 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 și 5 ÷ 4 = 1,25 [în acest caz A, B ≠ 1 și 0]
De fapt, scăderea se spune că este anti-comutativă; unde A - B = - (B - A).
De asemenea, conexiunile logice, conjuncția, disjuncția, implicația și echivalența sunt, de asemenea, comutative. Funcțiile adevărului sunt, de asemenea, comutative. Uniunea operațională setată și intersecția sunt comutative. Adunarea și produsul scalar al vectorilor sunt, de asemenea, comutative.
Dar scăderea vectorială și produsul vector nu sunt comutative (produsul vectorial din doi vectori este anti-comutativ). Adaosul matricial este comutativ, dar multiplicarea și scăderea nu sunt comutative. (Înmulțirea a două matrice poate fi comutativă în cazuri speciale, cum ar fi înmulțirea unei matrice cu inversa sau matricea de identitate; dar cu siguranță matricile nu sunt comutative dacă matricile nu sunt de aceeași dimensiune)
Mai multe despre proprietatea asociativă
Se spune că o operație binară este asociativă dacă ordinea de execuție nu afectează rezultatul atunci când sunt prezente două sau mai multe apariții ale operatorului. Luați în considerare elementele A, B și C și operația binară ⊗. Se spune că operația ⊗ este asociativă dacă
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Din funcțiile aritmetice de bază, doar adunarea și multiplicarea sunt asociative.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Scăderea și împărțirea nu sunt asociative;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 și (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 și (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Conjuncțiile logice disjuncție, conjuncție și echivalență sunt asociative, ca și uniunea și intersecția operațiilor stabilite. Matricea și adunarea vectorială sunt asociative. Produsul scalar al vectorilor este asociativ, dar produsul vector nu. Înmulțirea matricei este asociativă numai în circumstanțe speciale.
Care este diferența dintre proprietatea comutativă și cea asociativă?
• Atât proprietatea asociativă, cât și proprietatea comutativă sunt proprietăți speciale ale operațiilor binare, iar unele le satisfac, iar altele nu.
• Aceste proprietăți pot fi văzute în multe forme de operații algebrice și alte operații binare în matematică, cum ar fi intersecția și unirea în teoria mulțimilor sau conectivele logice.
• Diferența dintre comutativ și asociativ este că proprietatea comutativă afirmă că ordinea elementelor nu modifică rezultatul final în timp ce proprietatea asociativă afirmă că ordinea în care se efectuează operația nu afectează răspunsul final.
