Logaritmic vs Exponențial | Funcția exponențială față de funcția logaritmică
Funcțiile sunt una dintre cele mai importante clase de obiecte matematice, care sunt utilizate pe scară largă în aproape toate subcâmpurile matematicii. După cum numele lor sugerează atât funcția exponențială, cât și funcția logaritmică sunt două funcții speciale.
O funcție este o relație între două seturi definite în așa fel încât pentru fiecare element din primul set, valoarea care îi corespunde în al doilea set, este unică. Fie ƒ o funcție definită din mulțimea A în mulțimea B. Apoi pentru fiecare x ϵ A, simbolul ƒ (x) denotă valoarea unică din mulțimea B care corespunde x. Se numește imaginea lui x sub ƒ. Prin urmare, o relație ƒ de la A la B este o funcție, dacă și numai dacă, pentru fiecare x ϵ A și y ϵ A, dacă x = y atunci ƒ (x) = ƒ (y). Mulțimea A se numește domeniul funcției ƒ și este mulțimea în care este definită funcția.
Ce este funcția exponențială?
Funcția exponențială este funcția dată de ƒ (x) = e x, unde e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718 …) și este un număr irațional transcendental. Una dintre specialitățile funcției este că derivata funcției este egală cu ea însăși; adică când y = e x, dy / dx = e x. De asemenea, funcția este o funcție de creștere continuă peste tot, având axa x ca asimptotă. Prin urmare, funcția este și unu-la-unu. Pentru fiecare x ϵ R, avem acel e x > 0 și se poate arăta că este pe R +. De asemenea, urmează identitatea de bază e x + y = e x.e y și e 0= 1. Funcția poate fi reprezentată și folosind expansiunea de serie dată de 1 + x / 1! + X cu 2 /2! + X cu 3 / cu 3! + … + x n / n! + …
Ce este funcția logaritmică?
Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale. Deoarece funcția exponențială este unu-la-unu și pe R +, o funcție g poate fi definită din mulțimea numerelor reale pozitive în mulțimea numerelor reale date de g (y) = x, dacă și numai dacă, y = e x. Această funcție g se numește funcție logaritmică sau cel mai frecvent ca logaritm natural. Se notează cu g (x) = log e x = ln x. Deoarece este inversul funcției exponențiale, dacă luăm reflectarea graficului funcției exponențiale peste linia y = x, atunci vom avea graficul funcției logaritmice. Astfel, funcția este asimptotică față de axa y.
Funcția logaritmică urmează câteva reguli de bază dintre care ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y și ln xy = y ln x sunt cele mai importante. Aceasta este, de asemenea, o funcție în creștere și este continuă peste tot. Prin urmare, este și unu-la-unu. Se poate arăta că este pe R.
Care este diferența dintre funcția exponențială și funcția logaritmică?
• Funcția exponențială este dată de ƒ (x) = e x, în timp ce funcția logaritmică este dată de g (x) = ln x, iar fostul este inversul acestuia din urmă.
• Domeniul funcției exponențiale este un set de numere reale, dar domeniul funcției logaritmice este un set de numere reale pozitive.
• Gama funcției exponențiale este un set de numere reale pozitive, dar intervalul funcției logaritmice este un set de numere reale.
