Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integrarea este un subiect principal în calcul. Într-un sens mai brutal, integrarea poate fi privită ca procesul invers de diferențiere. La modelarea problemelor din lumea reală, este ușor să scrieți expresii care implică derivate. Într-o astfel de situație, operația de integrare este necesară pentru a găsi funcția, care a dat derivatul particular.
Din alt unghi, integrarea este un proces, care rezumă produsul unei funcții ƒ (x) și δx, unde δx tinde să fie o anumită limită. De aceea, folosim simbolul de integrare ca as. Simbolul ∫ este, de fapt, ceea ce obținem prin întinderea literei s pentru a ne referi la sumă.
Riemann Integral
Se consideră o funcție y = ƒ (x). Integrala lui y dintre a și b, unde a și b aparțin unei mulțimi x, se scrie ca b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Aceasta se numește o integrală definită a funcției unice și continue y = ƒ (x) între a și b. Aceasta dă aria de sub curbă între a și b. Aceasta se mai numește integral Riemann. Integrala Riemann a fost creată de Bernhard Riemann. Integrala Riemann a unei funcții continue se bazează pe măsura Jordan, prin urmare, este definită și ca limita sumelor Riemann ale funcției. Pentru o funcție cu valoare reală definită pe un interval închis, integrala Riemann a funcției în raport cu o partiție x 1, x 2, …, x ndefinit pe intervalul [a, b] și t 1, t 2, …, t n, unde x i ≤ t i ≤ x i + 1 pentru fiecare i ε {1, 2, …, n}, este definită suma Riemann ca Σ i = o la n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue este un alt tip de integral, care acoperă o mare varietate de cazuri decât o face integrala Riemann. Integrala lebesgue a fost introdusă de Henri Lebesgue în 1902. Integrarea Legesgue poate fi considerată ca o generalizare a integrării Riemann.
De ce trebuie să studiem o altă integrală?
Să luăm în considerare funcția caracteristică ƒ A (x) = { 0 dacă, x nu ε A 1 dacă, x ε A pe un set A. Atunci combinația liniară finită a funcțiilor caracteristice, care este definită ca F (x) = Σ a i ƒ E i (x) se numește funcție simplă dacă E i este măsurabilă pentru fiecare i. Integrala Lebesgue a lui F (x) peste E este notată cu E ∫ ƒ (x) dx. Funcția F (x) nu este integrabilă Riemann. Prin urmare, integrala Lebesgue este reformulată integral Riemann, care are unele restricții asupra funcțiilor care trebuie integrate.
Care este diferența dintre Riemann Integral și Lebesgue Integral?
· Integrala Lebesgue este o formă de generalizare a integralei Riemann.
· Integrala Lebesgue permite o infinitate numărabilă de discontinuități, în timp ce integrala Riemann permite un număr finit de discontinuități.