Ecuații diferențiale liniare vs neliniare
O ecuație care conține cel puțin un coeficient diferențial sau derivat al unei variabile necunoscute este cunoscută sub numele de ecuație diferențială. O ecuație diferențială poate fi fie liniară, fie neliniară. Scopul acestui articol este de a explica ce este ecuația diferențială liniară, ce este ecuația diferențială neliniară și care este diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare.
De la dezvoltarea calculului în secolul al XVIII-lea de către matematicieni precum Newton și Leibnitz, ecuația diferențială a jucat un rol important în povestea matematicii. Ecuațiile diferențiale sunt de mare importanță în matematică datorită gamei lor de aplicații. Ecuațiile diferențiale sunt în centrul fiecărui model pe care îl dezvoltăm pentru a explica orice scenariu sau eveniment din lume, indiferent dacă este vorba de fizică, inginerie, chimie, statistici, analize financiare sau biologie (lista este interminabilă). De fapt, până când calculul a devenit o teorie stabilită, instrumentele matematice adecvate nu au fost disponibile pentru a analiza problemele interesante din natură.
Ecuațiile rezultate dintr-o aplicație specifică de calcul pot fi foarte complexe și uneori nu pot fi rezolvate. Cu toate acestea, există unele pe care le putem rezolva, dar ar putea arăta la fel și confuze. Prin urmare, pentru o identificare mai ușoară, ecuațiile diferențiale sunt clasificate în funcție de comportamentul lor matematic. Liniar și neliniar este una dintre aceste categorii. Este important să se identifice diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare.
Ce este o ecuație diferențială liniară?
Să presupunem că f: X → Y și f (x) = y, o ecuație diferențială fără termeni neliniari ai funcției necunoscute y și derivatele sale este cunoscută sub numele de ecuație diferențială liniară.
Impune condiția ca y să nu poată avea termeni de index mai mari, cum ar fi y 2, y 3, … și multipli de derivate, cum ar fi
De asemenea, nu poate conține termeni neliniari precum Sin y, e y ^ -2 sau ln y. Ia forma,
unde y și g sunt funcții ale lui x. Ecuația este o ecuație diferențială de ordinul n, care este indicele derivatei de ordinul cel mai înalt.
Într-o ecuație diferențială liniară, operatorul diferențial este un operator liniar și soluțiile formează un spațiu vectorial. Ca rezultat al naturii liniare a setului de soluții, o combinație liniară a soluțiilor este, de asemenea, o soluție la ecuația diferențială. Adică, dacă y 1 și y 2 sunt soluții ale ecuației diferențiale, atunci C 1 y 1 + C 2 y 2 este, de asemenea, o soluție.
Liniaritatea ecuației este doar un parametru al clasificării și poate fi clasificată în continuare în ecuații omogene sau neomogene și ecuații diferențiale ordinare sau parțiale. Dacă funcția este g = 0 atunci ecuația este o ecuație diferențială liniară omogenă. Dacă f este o funcție de două sau mai multe variabile independente (f: X, T → Y) și f (x, t) = y, atunci ecuația este o ecuație diferențială parțială liniară.
Metoda soluției pentru ecuația diferențială este dependentă de tipul și coeficienții ecuației diferențiale. Cel mai ușor caz apare atunci când coeficienții sunt constanți. Exemplul clasic pentru acest caz este a doua lege a mișcării lui Newton și diferitele sale aplicații. A doua lege a lui Newton produce o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Ce este o ecuație diferențială neliniară?
Ecuațiile care conțin termeni neliniari sunt cunoscute sub numele de ecuații diferențiale neliniare.
Toate cele de mai sus sunt ecuații diferențiale neliniare. Ecuațiile diferențiale neliniare sunt greu de rezolvat, prin urmare, este necesar un studiu atent pentru a obține o soluție corectă. În cazul ecuațiilor diferențiale parțiale, majoritatea ecuațiilor nu au o soluție generală. Prin urmare, fiecare ecuație trebuie tratată independent.
Ecuația Navier-Stokes și ecuația lui Euler în dinamica fluidelor, ecuațiile de câmp ale lui Einstein ale relativității generale sunt ecuații bine-cunoscute diferențiale parțiale neliniare. Uneori, aplicarea ecuației Lagrange la un sistem variabil poate duce la un sistem de ecuații diferențiale parțiale neliniare.
Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare?
• O ecuație diferențială, care are doar termenii liniari ai variabilei necunoscute sau dependente și derivatele acesteia, este cunoscută sub numele de ecuație diferențială liniară. Nu are termen cu variabila dependentă de index mai mare de 1 și nu conține niciun multiplu al derivatelor sale. Nu poate avea funcții neliniare, cum ar fi funcții trigonometrice, funcții exponențiale și funcții logaritmice în raport cu variabila dependentă. Orice ecuație diferențială care conține termenii menționați mai sus este o ecuație diferențială neliniară.
• Soluțiile de ecuații diferențiale liniare creează spațiu vectorial și operatorul diferențial este, de asemenea, un operator liniar în spațiul vectorial.
• Soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare sunt relativ mai ușoare și există soluții generale. Pentru ecuațiile neliniare, în majoritatea cazurilor, soluția generală nu există și soluția poate fi specifică problemei. Acest lucru face soluția mult mai dificilă decât ecuațiile liniare.
