Diferența Dintre Integrare și însumare

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-16 08:41

Integrare vs Sumare

În matematica de liceu, integrarea și însumarea se găsesc adesea în operațiile matematice. Se pare că sunt folosite ca instrumente diferite și în situații diferite, dar au o relație foarte strânsă.

Mai multe despre Summation

Suma este operația de adăugare a unei secvențe de numere și operația este adesea notată cu litera greacă cu majusculă sigma Σ. Se folosește pentru a abrevia suma și este egală cu suma / totalul secvenței. Ele sunt adesea folosite pentru a reprezenta seria, care în esență sunt secvențe infinite rezumate. Ele pot fi folosite și pentru a indica suma vectorilor, matricilor sau polinoamelor.

Suma se face de obicei pentru o serie de valori care pot fi reprezentate de un termen general, cum ar fi o serie care are un termen comun. Punctul de pornire și punctul final al însumării sunt cunoscute ca limita inferioară și respectiv limita superioară a însumării.

De exemplu, suma secvenței a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, …, a _n este a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n care poate fi ușor reprezentată folosind notația de însumare ca ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i se numește indicele însumării.

Multe variații sunt utilizate pentru însumarea pe baza aplicației. În unele cazuri, limita superioară și inferioară pot fi date ca un interval sau un interval, cum ar fi ∑ _1≤i≤100 a _i și ∑ _{i∈ [1.100]} a _i. Sau poate fi dat ca un set de numere precum ∑ _i∈P a _i, unde P este un set definit.

În unele cazuri, pot fi utilizate două sau mai multe semne sigma, dar pot fi generalizate după cum urmează; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

De asemenea, însumarea urmează multe reguli algebrice. Deoarece operația încorporată este adăugarea, multe dintre regulile comune ale algebrei pot fi aplicate sumelor în sine și pentru termenii individuali descriși de suma.

Mai multe despre integrare

Integrarea este definită ca procesul invers de diferențiere. Dar, în viziunea sa geometrică, poate fi considerată și ca zona închisă de curba funcției și axa. Prin urmare, calculul ariei dă valoarea unei integrale definite așa cum se arată în diagramă.

Sursa imaginii:

Valoarea integralei definite este de fapt suma benzilor mici din interiorul curbei și axei. Aria fiecărei benzi este înălțimea × lățimea în punctul de pe axa considerată. Lățimea este o valoare pe care o putem alege, să zicem ∆x. Și înălțimea este aproximativ valoarea funcției la punctul considerat, să zicem f (x _i). Din diagramă, este evident că cu cât benzile sunt mai mici, benzile se potrivesc în interiorul zonei delimitate, deci o aproximare mai bună a valorii.

Deci, în general integralul definit I, între punctele a și b (adică în intervalul [a, b] unde a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, unde n este numărul de benzi (n = (ba) / ∆x). Această însumare a zonei poate fi reprezentată cu ușurință folosind notația de însumare ca I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Deoarece aproximarea este mai bună atunci când ∆x este mai mică, putem calcula valoarea când ∆x → 0. Prin urmare, este rezonabil să spunem I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Ca o generalizare din conceptul de mai sus, putem alege ∆x pe baza intervalului considerat indexat de i (alegerea lățimii zonei în funcție de poziție). Atunci ajungem

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Aceasta este cunoscută sub numele de Integrala Reimann a funcției f (x) în intervalul [a, b]. În acest caz, a și b sunt cunoscute ca limita superioară și inferioară a integralei. Integrala Reimann este o formă de bază a tuturor metodelor de integrare.

În esență, integrarea este însumarea zonei atunci când lățimea dreptunghiului este infinitesimală.

Care este diferența dintre integrare și însumare?

• Suma este însumarea unei secvențe de numere. De obicei, suma este dată în această formă ∑ ⁿ _{i = 1} a _i când termenii din secvență au un model și pot fi exprimați folosind un termen general.

• Integrarea este practic aria delimitată de curba funcției, axa și limitele superioare și inferioare. Această zonă poate fi dată ca suma suprafețelor mult mai mici incluse în zona delimitată.

• Suma implică valorile discrete cu limitele superioară și inferioară, în timp ce integrarea implică valori continue.

• Integrarea poate fi interpretată ca o formă specială de însumare.

• În metodele de calcul numeric, integrarea se realizează întotdeauna ca o însumare.