Power Series vs Taylor Series
În matematică, o secvență reală este o listă ordonată de numere reale. În mod formal, este o funcție de la setul de numere naturale la setul de numere reale. Dacă un n este n - lea termen al unei secvențe, vom denumi secvența de sau printr - o 1, o 2, …, un n …. De exemplu, considerăm secvența 1 ½, ⅓, …, 1 / n, …. Poate fi notat ca {1 / n}.
Este posibil să se definească o serie folosind secvențe. O serie este suma termenilor unei secvențe. Prin urmare, pentru fiecare secvență, există o secvență asociată și invers. Dacă {a n} este secvența luată în considerare, atunci seria formată din acea secvență poate fi reprezentată ca:
Astfel, în exemplul de mai sus, seria asociată este 1+ 1 / cu 2 + 1 / cu 3 + … + 1 / n + ….
După cum sugerează și numele, seria de putere este un tip special de serie și este utilizată pe scară largă în analiza numerică și modelarea matematică aferentă. Seria Taylor este o serie specială de putere care oferă o modalitate alternativă și ușor de manipulat de a reprezenta funcții bine cunoscute.
Ce este seria Power?
O serie de putere este o serie a formei
care este convergent (posibil) pentru un anumit interval centrat la c. Coeficienții a n pot fi numere reale sau complexe și sunt independenți de x; adică variabila fictivă.
De exemplu, prin setarea a n = 1 pentru fiecare n, și c = 0, se obține seria de putere 1 + x + x 2 + ….. + x n + … Este ușor de observat că atunci când x ε (-1,1), această serie de puteri converge la 1 / (1-x).
O serie de puteri converge când x = c. Celelalte valori ale lui x pentru care converge seria de putere vor lua întotdeauna forma unui interval deschis centrat la c. Adică, va exista o valoare 0≤ R ≤ ∞ astfel încât pentru fiecare x care îndeplinește | xc | ≤ R, seria de putere este convergentă și pentru fiecare x care îndeplinește | xc |> R, seria de puteri este divergentă. Această valoare R se numește raza de convergență a seriei de putere (R poate lua orice valoare reală sau infinit pozitiv).
Seriile de putere pot fi adăugate, scăzute, înmulțite și împărțite folosind următoarele reguli. Luați în considerare cele două serii de putere:
Atunci,
adică termeni asemănători sunt adăugați sau scăși împreună. De asemenea, este posibil să se înmulțească și să se împartă cele două serii de puteri folosind identitatea,
Ce este seria Taylor?
Seria Taylor este definită pentru o funcție f (x) care este infinit diferențiată pe un interval. Să presupunem că f (x) este diferențiat pe un interval centrat la c. Apoi seria de putere care este dată de
se numește expansiunea în serie Taylor a funcției f (x) despre c. (Aici f (n) (c) denotă a n- a derivată la x = c). În analiza numerică, un număr finit de termeni în această expansiune infinită sunt folosiți la calcularea valorilor în punctele în care seria este convergentă la funcția originală.
Se spune că o funcție f (x) este analitică în intervalul (a, b), dacă pentru fiecare x ε (a, b), seria Taylor a lui f (x) converge la funcția f (x). De exemplu, 1 / (1-x) este analitic pe (-1,1), deoarece expansiunea lui Taylor 1 + x + x 2 + ….. + x n + … converge la funcția pe acel interval și e x este analitică peste tot, deoarece seria Taylor a lui e x converge la e x pentru fiecare număr real x.
Care este diferența dintre seria Power și seria Taylor?
1. Seria Taylor este o clasă specială de serii de putere definite numai pentru funcții care pot fi diferențiate infinit la un anumit interval deschis.
2. Seriile Taylor iau forma specială
întrucât, o serie de putere poate fi orice serie a formei
