Seria Fourier vs Transformata Fourier
Seria Fourier descompune o funcție periodică într-o sumă de sinusuri și cosinus cu frecvențe și amplitudini diferite. Seria Fourier este o ramură a analizei Fourier și a fost introdusă de Joseph Fourier. Transformata Fourier este o operație matematică care rupe un semnal în frecvențele sale constitutive. Semnalul original care s-a schimbat în timp se numește reprezentarea domeniului de timp al semnalului. Transformata Fourier se numește reprezentarea domeniului de frecvență al unui semnal, deoarece depinde de frecvență. Atât reprezentarea domeniului de frecvență al unui semnal, cât și procesul utilizat pentru transformarea semnalului în domeniul de frecvență sunt denumite transformate Fourier.
Ce este seria Fourier?
Așa cum am menționat anterior, seria Fourier este o extindere a unei funcții periodice folosind suma infinită de sinusuri și cosinus. Seria Fourier a fost inițial dezvoltată la rezolvarea ecuațiilor de căldură, dar ulterior s-a aflat că aceeași tehnică poate fi utilizată pentru a rezolva un set mare de probleme matematice, în special problemele care implică ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Acum, seria Fourier are aplicații în numeroase domenii, inclusiv ingineria electrică, analiza vibrațiilor, acustica, optica, procesarea semnalului, procesarea imaginilor, mecanica cuantică și econometrie. Seria Fourier folosește relațiile de ortogonalitate ale funcțiilor sinus și cosinus. Calculul și studiul seriei Fourier este cunoscut sub numele de analiză armonică și este foarte util atunci când se lucrează cu funcții periodice arbitrare,deoarece permite separarea funcției în termeni simpli care pot fi folosiți pentru a obține o soluție la problema inițială.
Ce este transformata Fourier?
Transformata Fourier definește o relație între un semnal din domeniul timpului și reprezentarea acestuia în domeniul frecvenței. Transformata Fourier descompune o funcție în funcții oscilatorii. Deoarece aceasta este o transformare, semnalul original poate fi obținut din cunoașterea transformării, astfel nu se creează și nu se pierd informații în acest proces. Studiul seriei Fourier oferă de fapt motivație pentru transformata Fourier. Datorită proprietăților sinusurilor și cosinusului, este posibil să se recupereze cantitatea fiecărei unde care contribuie la suma utilizând o integrală. Transformata Fourier are câteva proprietăți de bază, cum ar fi linearitatea, translația, modularea, scalarea, conjugarea, dualitatea și convoluția. Transformata Fourier este aplicată în rezolvarea ecuațiilor diferențiale, deoarece transformata Fourier este strâns legată de transformarea Laplace. Transformata Fourier este, de asemenea, utilizată în rezonanța magnetică nucleară (RMN) și în alte tipuri de spectroscopie.
Diferența dintre seria Fourier și transformata Fourier
Seria Fourier este o expansiune a semnalului periodic ca o combinație liniară de sinusuri și cosinus, în timp ce transformata Fourier este procesul sau funcția utilizată pentru a converti semnalele din domeniul timpului în domeniul frecvenței. Seria Fourier este definită pentru semnale periodice, iar transformata Fourier poate fi aplicată semnalelor aperiodice (care apar fără periodicitate). După cum sa menționat mai sus, studiul seriei Fourier oferă de fapt motivație pentru transformata Fourier.
