Variabile aleatorii vs distribuția probabilității
Experimentele statistice sunt experimente aleatorii care pot fi repetate la nesfârșit cu un set cunoscut de rezultate. Atât variabilele aleatorii, cât și distribuțiile de probabilitate sunt asociate cu astfel de experimente. Pentru fiecare variabilă aleatorie, există o distribuție de probabilitate asociată definită de o funcție numită funcție de distribuție cumulativă.
Ce este o variabilă aleatorie?
O variabilă aleatorie este o funcție care atribuie valori numerice rezultatelor unui experiment statistic. Cu alte cuvinte, este o funcție definită din spațiul eșantion al unui experiment statistic în setul de numere reale.
De exemplu, luați în considerare un experiment aleatoriu de a răsturna o monedă de două ori. Rezultatele posibile sunt HH, HT, TH și TT (capete H, povesti T). Fie variabila X numărul de capete observate în experiment. Apoi, X poate lua valorile 0, 1 sau 2 și este o variabilă aleatorie. Aici, variabila aleatoare X va mapa setul S = {HH, HT, TH, TT} (spațiul eșantion) la setul {0, 1, 2} în așa fel încât HH să fie mapat la 2, HT și TH sunt mapate la 1 și TT este mapat la 0. În notația funcțională, aceasta poate fi scrisă ca, X: S → R unde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 și X (TT) = 0.
Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue, prin urmare numărul de valori posibile pe care o variabilă aleatorie le poate presupune este cel mult numărabil sau nu. În exemplul anterior, variabila aleatoare X este o variabilă discretă aleatorie, deoarece {0, 1, 2} este un set finit. Acum, ia în considerare experimentul statistic de a găsi greutățile elevilor într-o clasă. Fie Y variabila aleatorie definită ca greutatea unui student. Y poate lua orice valoare reală într-un anumit interval. Prin urmare, Y este o variabilă continuă aleatorie.
Ce este o distribuție de probabilitate?
Distribuția probabilității este o funcție care descrie probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia anumite valori.
O funcție numită funcție de distribuție cumulativă (F) poate fi definită de la mulțimea numerelor reale la mulțimea numerelor reale ca F (x) = P (X ≤ x) (probabilitatea ca X să fie mai mică sau egală cu x) pentru fiecare posibil rezultat x. Acum, funcția de distribuție cumulativă a lui X în primul exemplu poate fi scrisă ca F (a) = 0, dacă a <0; F (a) = 0,25, dacă 0≤a <1; F (a) = 0,75, dacă 1≤a <2 și F (a) = 1, dacă a≥2.
În cazul variabilelor aleatorii discrete, o funcție poate fi definită de la setul de rezultate posibile la setul de numere reale în așa fel încât ƒ (x) = P (X = x) (probabilitatea ca X să fie egală cu x) pentru fiecare rezultat posibil x. Această funcție specială ƒ se numește funcția de masă de probabilitate a variabilei aleatorii X. Acum funcția de masă de probabilitate a lui X în primul exemplu particular poate fi scrisă ca ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 și ƒ (x) = 0 în caz contrar. Astfel, funcția de masă a probabilității împreună cu funcția de distribuție cumulativă vor descrie distribuția probabilității lui X în primul exemplu.
În cazul variabilelor aleatoare continue, o funcție numită funcția densității probabilității (ƒ) poate fi definită ca ƒ (x) = dF (x) / dx pentru fiecare x în care F este funcția de distribuție cumulativă a variabilei aleatoare continue. Este ușor de văzut că această funcție îndeplinește (ƒ (x) dx = 1. Funcția densității probabilității împreună cu funcția de distribuție cumulativă descrie distribuția probabilității unei variabile aleatoare continue. De exemplu, distribuția normală (care este o distribuție continuă a probabilității) este descrisă utilizând funcția densității probabilității ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Care este diferența dintre variabilele aleatorii și distribuția probabilității?
• Variabila aleatorie este o funcție care asociază valorile unui spațiu eșantion la un număr real.
• Distribuția probabilității este o funcție care asociază valorile pe care o variabilă aleatorie le poate lua probabilității respective de apariție.
