Funcția de distribuție a probabilității vs funcția de densitate a probabilității
Probabilitatea este probabilitatea ca un eveniment să se întâmple. Această idee este foarte obișnuită și este utilizată frecvent în viața de zi cu zi atunci când ne evaluăm oportunitățile, tranzacțiile și multe alte lucruri. Extinderea acestui concept simplu la un set mai mare de evenimente este ceva mai provocatoare. De exemplu, nu ne putem da seama cu ușurință de șansele de a câștiga la o loterie, dar este convenabil, destul de intuitiv, să spunem că există o probabilitate ca unul din șase să primim numărul șase într-un zar aruncat.
Când numărul evenimentelor care pot avea loc devine din ce în ce mai mare sau numărul posibilităților individuale este mare, această idee destul de simplă de probabilitate eșuează. Prin urmare, trebuie să i se dea o definiție matematică solidă înainte de a aborda probleme cu complexitate mai mare.
Când numărul de evenimente care pot avea loc într-o singură situație este mare, este imposibil să se ia în considerare fiecare eveniment în mod individual ca în exemplul zarurilor aruncate. Prin urmare, întregul set de evenimente este rezumat prin introducerea conceptului de variabilă aleatorie. Este o variabilă, care poate asuma valorile diferitelor evenimente din acea situație particulară (sau spațiul eșantion). Oferă un sens matematic evenimentelor simple din situație și un mod matematic de abordare a evenimentului. Mai precis, o variabilă aleatorie este o funcție de valoare reală asupra elementelor spațiului eșantion. Variabilele aleatoare pot fi discrete sau continue. De obicei, acestea sunt notate cu literele mari ale alfabetului englez.
Funcția de distribuție a probabilității (sau pur și simplu, distribuția de probabilitate) este o funcție care atribuie valorile de probabilitate pentru fiecare eveniment; adică oferă o relație cu probabilitățile pentru valorile pe care le poate lua variabila aleatorie. Funcția de distribuție a probabilității este definită pentru variabilele aleatorii discrete.
Funcția densității probabilității este echivalentul funcției de distribuție a probabilității pentru variabilele aleatoare continue, oferă probabilitatea ca o anumită variabilă aleatorie să își asume o anumită valoare.
Dacă X este o variabilă discretă aleatorie, funcția dată ca f (x) = P (X = x) pentru fiecare x în intervalul lui X se numește funcție de distribuție a probabilității. O funcție poate servi ca funcție de distribuție a probabilității dacă și numai dacă funcția îndeplinește următoarele condiții.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
O funcție f (x) care este definită peste setul de numere reale se numește funcția densității probabilității variabilei aleatoare continue X, dacă și numai dacă,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx pentru orice constantă reală a și b.
Funcția densității probabilității ar trebui să îndeplinească și următoarele condiții.
1. f (x) ≥ 0 pentru toate x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Atât funcția de distribuție a probabilității, cât și funcția de densitate a probabilității sunt utilizate pentru a reprezenta distribuția probabilităților pe spațiul eșantionului. În mod obișnuit, acestea se numesc distribuții de probabilitate.
Pentru modelarea statistică, sunt derivate funcțiile standard de densitate a probabilității și funcțiile de distribuție a probabilității. Distribuția normală și distribuția normală standard sunt exemple de distribuții de probabilitate continue. Distribuția binomială și distribuția Poisson sunt exemple de distribuții de probabilitate discrete.
Care este diferența dintre distribuția probabilității și funcția densității probabilității?
• Funcția de distribuție a probabilității și funcția de densitate a probabilității sunt funcții definite pe spațiul eșantionului, pentru a atribui valoarea de probabilitate relevantă fiecărui element.
• Funcțiile de distribuție a probabilității sunt definite pentru variabilele aleatorii discrete, în timp ce funcțiile de densitate a probabilității sunt definite pentru variabilele aleatoare continue.
• Distribuția valorilor de probabilitate (adică distribuții de probabilitate) este prezentată cel mai bine de funcția densității probabilității și de funcția de distribuție a probabilității.
• Funcția de distribuție a probabilității poate fi reprezentată ca valori într-un tabel, dar acest lucru nu este posibil pentru funcția de densitate a probabilității, deoarece variabila este continuă.
• Când este reprezentată grafic, funcția de distribuție a probabilității oferă un grafic în bare, în timp ce funcția de densitate a probabilității dă o curbă.
• Înălțimea / lungimea barelor funcției de distribuție a probabilității trebuie să se adauge la 1, în timp ce aria de sub curba funcției de densitate a probabilității trebuie să adauge la 1.
• În ambele cazuri, toate valorile funcției trebuie să fie non-negative.
