Derivat vs diferențial
În calculul diferențial, derivatul și diferențialul unei funcții sunt strâns legate, dar au semnificații foarte diferite și sunt utilizate pentru a reprezenta două obiecte matematice importante legate de funcții diferențiate.
Ce este derivatul?
Derivata unei funcții măsoară rata la care valoarea funcției se modifică pe măsură ce intrarea sa se modifică. În funcțiile multi-variabile, modificarea valorii funcției depinde de direcția schimbării valorilor variabilelor independente. Prin urmare, în astfel de cazuri, se alege o direcție specifică și funcția este diferențiată în direcția respectivă. Această derivată se numește derivată direcțională. Derivatele parțiale sunt un tip special de derivate direcționale.
Derivata unei funcții vectoriale f poate fi definită ca limită
oriunde există în mod finit. Așa cum am menționat anterior, acest lucru ne oferă rata de creștere a funcției f de-a lungul direcției vectorului u. În cazul unei funcții cu o singură valoare, aceasta se reduce la definiția binecunoscută a derivatului,
De exemplu,
este diferențiat peste tot, iar derivata este egală cu limita
,, care este egală cu
. Derivații de funcții precum
există pretutindeni. Ele sunt, respectiv, egale cu funcțiile
Aceasta este cunoscută sub numele de primul derivat. De obicei, prima derivată a funcției f este notată cu f (1). Acum folosind această notație, este posibil să se definească derivate de ordin superior.
este derivata direcțională de ordinul doi și denotând derivata a n- a cu f (n) pentru fiecare n
definește derivata a n- a.
Ce este diferențialul?
Diferențialul unei funcții reprezintă schimbarea funcției în raport cu modificările variabilei independente sau variabile. În notația obișnuită, pentru o funcție dată f a unei singure variabile x, diferențialul total de ordinul 1 df este dat de
,. Aceasta înseamnă că pentru o modificare infinitesimală în x (adică dx), va exista o modificare af (1) (x) dx în f.
Folosind limite se poate ajunge la această definiție după cum urmează. Să presupunem că ∆ x este schimbarea în x într-un punct arbitrar x și ∆ f este schimbarea corespunzătoare a funcției f. Se poate arăta că ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, unde ϵ este eroarea. Acum, limita ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (folosind definiția menționată anterior a derivatei) și astfel, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Prin urmare, este posibil să concluzionează că, ∆ x → 0 ϵ = 0. Acum, notând ∆ x → 0 ∆ f ca df și ∆ x → 0 ∆ x ca dx se obține riguros definiția diferențialului.
De exemplu, diferențialul funcției
este
În cazul funcțiilor a două sau mai multe variabile, diferențialul total al unei funcții este definit ca suma diferențialelor în direcțiile fiecărei variabile independente. Matematic, se poate afirma ca
Care este diferența dintre derivată și diferențială?
• Derivatul se referă la o rată de modificare a unei funcții, în timp ce diferențialul se referă la schimbarea efectivă a funcției, atunci când variabila independentă este supusă modificării.
• Derivata este dată de
dar diferențialul este dat de
