Diferențierea față de derivată
În calculul diferențial, derivatele și diferențierea sunt strâns legate, dar foarte diferite, și sunt utilizate pentru a reprezenta două concepte matematice importante legate de funcții.
Ce este derivatul?
Derivata unei funcții măsoară rata la care valoarea funcției se modifică pe măsură ce intrarea sa se modifică. În funcțiile multi-variabile, modificarea valorii funcției depinde de direcția schimbării valorilor variabilelor independente. Prin urmare, în astfel de cazuri, se alege o direcție specifică și funcția este diferențiată în direcția respectivă. Această derivată se numește derivată direcțională. Derivatele parțiale sunt un tip special de derivate direcționale.
Derivata unei funcții vectoriale f poate fi definită ca limită
oriunde există în mod finit. Așa cum am menționat anterior, acest lucru ne oferă rata de creștere a funcției f de-a lungul direcției vectorului u. În cazul unei funcții cu o singură valoare, aceasta se reduce la definiția binecunoscută a derivatului,
De exemplu,
este diferențiat peste tot, iar derivata este egală cu limita
,, care este egală cu
. Derivații de funcții precum
există pretutindeni. Ele sunt, respectiv, egale cu funcțiile
Aceasta este cunoscută sub numele de primul derivat. De obicei, prima derivată a funcției f este notată cu f (1). Acum folosind această notație, este posibil să se definească derivate de ordin superior.
este derivata direcțională de ordinul doi și denotând derivata a n- a cu f (n) pentru fiecare n
definește derivata a n- a.
Ce este diferențierea?
Diferențierea este procesul de găsire a derivatei unei funcții diferențiabile. Operatorul D notat cu D reprezintă diferențierea în anumite contexte. Dacă x este variabila independentă, atunci D ≡ d / dx. Operatorul D este un operator liniar, adică pentru oricare două funcții diferențiabile f și g și constante c, se păstrează următoarele proprietăți.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Folosind operatorul D, celelalte reguli asociate diferențierii pot fi exprimate după cum urmează. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 și D (ceață) = (D (f) og) D (g).
De exemplu, când F (x) = x 2 sin x este diferențiat în raport cu x folosind regulile date, răspunsul va fi 2 x sin x + x 2 cos x.
Care este diferența dintre diferențiere și derivată?
• Derivatul se referă la o rată de modificare a unei funcții
• Diferențierea este procesul de găsire a derivatei unei funcții.
