Ecuația diferenței vs ecuația diferențială
Un fenomen natural poate fi descris matematic prin funcții ale unui număr de variabile și parametri independenți. Mai ales când sunt exprimate printr-o funcție a poziției spațiale și a timpului, rezultă ecuații. Funcția se poate modifica odată cu modificarea variabilelor independente sau a parametrilor. O schimbare infinitesimală care se întâmplă în funcție atunci când una dintre variabilele sale este modificată se numește derivată a acelei funcții.
O ecuație diferențială este orice ecuație care conține derivate ale unei funcții, precum și funcția în sine. O ecuație diferențială simplă este cea a celei de-a doua legi a mișcării lui Newton. Dacă un obiect de masă m se mișcă cu accelerația „a” și se acționează cu forța F, atunci a doua lege a lui Newton ne spune că F = ma. Din nou, „a” variază în funcție de timp, putem rescrie „a” ca; a = dv / dt; v este viteza. Viteza este funcția spațiului și a timpului, adică v = ds / dt; deci 'a' = d 2 s / dt 2.
Ținând cont de acestea, putem rescrie a doua lege a lui Newton ca o ecuație diferențială;
„F” în funcție de v și t - F (v, t) = mdv / dt sau
„F” în funcție de s și t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Există două tipuri de ecuații diferențiale; ecuație diferențială obișnuită, prescurtată prin ODE sau ecuație diferențială parțială, prescurtată prin PDE. Ecuația diferențială ordinară va avea derivate obișnuite (derivate ale unei singure variabile) în ea. Ecuația diferențială parțială va avea derivate diferențiale (derivate ale mai multor variabile).
de exemplu, F = md 2 s / dt 2 este un ODE, în timp ce α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt este un PDE, are derivate de t și x.
Ecuația diferenței este aceeași cu ecuația diferențială, dar o privim în context diferit. În ecuațiile diferențiale, variabila independentă, cum ar fi timpul, este considerată în contextul sistemului de timp continuu. În sistemul de timp discret, numim funcția ca ecuație a diferenței.
Ecuația diferenței este o funcție a diferențelor. Diferențele în variabilele independente sunt de trei tipuri; secvența numărului, sistemul dinamic discret și funcția iterată.
În secvența de numere, modificarea este generată recursiv folosind o regulă pentru a relaționa fiecare număr din secvență cu numerele anterioare din secvență.
Ecuația diferenței într-un sistem dinamic discret ia un semnal discret de intrare și produce semnal de ieșire.
Ecuația diferenței este o hartă iterată pentru funcția iterată. De exemplu, y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))), … este secvența unei funcții iterate. F (y 0) este primul iterat din y 0. Iterația k-a va fi notată cu f k (y 0).
