Excludere reciprocă vs Evenimente independente
Oamenii confundă adesea conceptul de evenimente care se exclud reciproc cu evenimente independente. De fapt, acestea sunt două lucruri diferite.
Fie A și B oricare două evenimente asociate cu un experiment aleatoriu E. P (A) se numește „Probabilitatea lui A”. În mod similar, putem defini probabilitatea lui B ca P (B), probabilitatea lui A sau B ca P (A∪B) și probabilitatea lui A și B ca P (A∩B). Apoi, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Cu toate acestea, două evenimente se spun că se exclud reciproc dacă apariția unui eveniment nu îl afectează pe celălalt. Cu alte cuvinte, ele nu pot apărea simultan. Prin urmare, dacă două evenimente A și B se exclud reciproc, atunci A∩B = ∅ și, prin urmare, asta implică P (A∪B) = P (A) + P (B).
Fie A și B două evenimente într-un spațiu eșantion S. Probabilitatea condițională a lui A, dat fiind faptul că B a avut loc, este notată cu P (A | B) și este definită ca; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), cu condiția ca P (B)> 0. (în caz contrar, nu este definit.)
Se spune că un eveniment A este independent de un eveniment B, dacă probabilitatea ca A să apară nu este influențată de faptul dacă B a avut loc sau nu. Cu alte cuvinte, rezultatul evenimentului B nu are niciun efect asupra rezultatului evenimentului A. Prin urmare, P (A | B) = P (A). În mod similar, B este independent de A dacă P (B) = P (B | A). Prin urmare, putem concluziona că dacă A și B sunt evenimente independente, atunci P (A∩B) = P (A). P (B)
Să presupunem că un cub numerotat este rulat și că o monedă corectă este răsturnată. Fie A evenimentul în care obținerea unui cap și B evenimentul care rulează un număr par. Apoi putem concluziona că evenimentele A și B sunt independente, deoarece acel rezultat al unuia nu afectează rezultatul celuilalt. Prin urmare, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Deoarece P (A∩B) ≠ 0, A și B nu se pot exclude reciproc.
Să presupunem că o urnă conține 7 baloane albe și 8 baloane negre. Definiți evenimentul A ca desenând o marmură albă și evenimentul B ca desenând o marmură neagră. Presupunând că fiecare marmură va fi înlocuită după ce a notat culoarea ei, atunci P (A) și P (B) vor fi întotdeauna la fel, indiferent de câte ori tragem din urnă. Înlocuirea marmurilor înseamnă că probabilitățile nu se schimbă de la extragere la extragere, indiferent de culoarea pe care am ales-o la ultima extragere. Prin urmare, evenimentele A și B sunt independente.
Cu toate acestea, dacă marmurile au fost trase fără înlocuire, atunci totul se schimbă. Sub această ipoteză, evenimentele A și B nu sunt independente. Desenarea unei marmuri albe prima dată schimbă probabilitățile pentru desenarea unei marmuri negre la a doua extragere și așa mai departe. Cu alte cuvinte, fiecare extragere are un efect asupra extragerii următoare, astfel încât extragerile individuale nu sunt independente.
Diferența dintre evenimentele care se exclud reciproc și evenimentele independente
- Exclusivitatea reciprocă a evenimentelor înseamnă că nu există suprapuneri între seturile A și B. Independența evenimentelor înseamnă că întâmplarea lui A nu afectează întâmplarea lui B.
- Dacă două evenimente A și B se exclud reciproc, atunci P (A∩B) = 0.
- Dacă două evenimente A și B sunt independente, atunci P (A∩B) = P (A). P (B)
